Lektion 1.7 Binäre Zahlen – Dualsystem einfach erklärt

Binäre Zahlen - Dualsystem einfach erklärt

Das binäre Zahlensystem ist die Grundlage jeder speicherprogrammierbaren Steuerung und aus diesem Grund ist es essenziell das auch du weißt, was es damit auf sich hat und wie zwischen den Zahlensystemen umgerechnet werden kann.

Aber keine Sorge, selbst wenn du noch nie von diesem binären System gehört hast, kann ich dir versprechen, dass du innerhalb der nächsten paar Minuten wissen wirst, was es damit auf sich hat.
 
 
 
 

Dezimalsystem

Möglicherweise fragst du dich warum ich zuerst auf das Dezimalsystem zu sprechen komme, da es ohnehin jeden bekannt sein dürfte.

Das ist zwar richtig aber da alle Zahlensystem auf der gleichen Grundlagen basieren und eben weil das Dezimalsystem jedem bekannt ist, wird es umso verständlicher, wenn wir dieses System verinnerlichen.

Zeichenvorrat und Basiszahl


Im Dezimalsystem stehen uns die Zeichen von 0 bis 9 zur Verfügung was wiederum eine Basiszahl von 10 ergibt.

Warum gerade 10? Das kommt daher, weil wir 10 Finger an unseren Händen haben und seit jeher damit rechnen.
In einigen Sprachen ist sogar so das anstatt der Zahl 5 das Wort Hand benutzt wird, um diese Zahl auszudrücken.
Basiszahl Dezimal

Dezimalsystem Beispiel


Als Beispiel nehmen wir die Zahl 1637.

Zerlegen wir diese Zahl in ihre Einzelteile dann erhalten wir:

  • bei den 1er eine 7
  • bei den 10er die 3
  • bei den 100er die 6
  • bei den 1000er die 1


Wie im Bild zu sehen habe ich die Basiszahl von 10 eingetragen, welche nun nach oben und nach unten exponentiell weitergeführt werden kann.

Im nachkomma Bereich wären es die Zahlen 1/10 - 1/100 - 1/1000 usw.
Exponentialschreibweise Dezimal

Nachdem das geklärt ist erhalten wir folgendes Ergebnis:

  • 1 x 1000 +
  • 6 x 100 +
  • 3 x 10 +
  • 7 x 1
  • = 1637


Einzelpotenzen Dezimalsystem
 
 

Binärsystem

Anders als beim Dezimalsystem hat das Binärsystem oder auch Dualsystem genannt nur einen Zeichenvorrat von 0 und 1.
Aus diesen zwei Zahlen ergibt sich dadurch die Basiszahl 2.

Vereinfacht ist dieses Zahlensystem die Grundlage jedes Computers und dadurch auch jeder SPS da diese Geräte nur erkennen können, ob Strom fließt (1) oder ob kein Strom fließt (0).
Dualsystem

Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen


Als Beispiel nehmen wir die binäre Zahl 1011.
Bevor wir allerdings mit der Umrechnung beginnen tragen wir ähnlich wie beim Dezimalsystem die Basiszahl (2) ein und führen diese exponentiell fort.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

  • 1er
  • 2er
  • 4er
  • 8er
  • 16er usw.


Binärsystem Erklärung

Nachdem die Binärzahl entsprechend der Wertigkeit eingetragen wurde, ergibt sich folgendes dezimales Ergebnis:

  • 1 x 8 +
  • 0 x 4+
  • 1 x 2 +
  • 1 x 1
  • = 11


Somit haben wir auf einfachste Art und Weise eine binäre Zahl in eine dezimale Zahl umgerechnet.
(Bei größeren binären Zahlen ist die Tabelle entsprechend zu erweitern)
Binärsystem wandeln

Dezimalzahlen in Binärzahlen umrechnen - Methode A


Genauso wichtig wie die Umrechnung von binär zu Dezimal ist auch die Umrechnung von Dezimal zu binär.
Hier gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, um ans Ziel zu kommen, die ich dir selbstverständlich beide vorstellen möchte.

Bevor die Umrechnung aber durchgeführt werden kann, habe ich eine binäre Tabelle bis zur Zahl 128 erstellt.
Dezimal zu binär umrechnen

Beispiel Zahl 200:

Nun vergleiche ich, ob der größte Wert (in diesem Fall 128) in die umzurechnende Zahl (200) hineinpasst.

Wenn ja dann wird in die Tabelle eine 1 eingetragen und der Wert vom Ursprung abgezogen (200 - 128 = 72).

Als Rest bleibt 72 und passt dieser in die nächste Spalte rein? Ja und genau deswegen tragen wir auch hier wieder eine 1 ein und ziehen wiederum den Wert ab (72 -64 = 8).

Der nächste Wert in der Tabelle ist die 32 und da dieser nun nicht in den Rest von 8 reinpasst wird eine 0 eingetragen.
Der nächste Wert in der Tabelle ist die 16 und diese passt auch nicht in den Rest von 8, weshalb auch eine 0 eingetragen wird.

Passt der Wert 8 in den Rest von 8? Ja passt und es wird eine 1 eingetragen (8 - 8 = 0).

Da in die 0 sicher kein Wert mehr reinpasst, werden die restlichen binären Stellen mit 0 aufgefüllt.

Somit haben wir auf recht einfache Weise eine Dezimale in eine binäre Zahl umgerechnet.
Wenn du dir nicht ganz sicher bist, ob deine Umrechnung passt, dann kannst du wie vorhin beschrieben die binäre Zahl wieder zurückrechnen.


Zusatzinfo zur Tabellen Erstellung:

Wäre der Ursprungswert nicht 200, sondern z.b 300 dann wäre die binäre Tabelle entsprechend auch noch zu vergrößern.

Warum?

Die Tabelle wurde in diesem Beispiel bis zur Zahl 128 geführt.
Wie du bereits weißt, kann eine binäre Zahl nur den Wert 0 oder 1 haben.
128 passt aber 2 mal in die 300 rein was somit nicht möglich ist.
Dezimal zu binär wandeln

Dezimalzahlen in Binärzahlen umrechnen - Methode B


Wie angekündigt gibt es eine zweite Methode, um Dezimalzahlen in Binärzahlen umzurechnen, welche sogar noch einfacher durchzuführen ist als gerade vorhin.

Dabei wird die Ursprungszahl solange durch 2 dividiert bis kein Rest mehr übrig bleibt.
Der Rest ist auch das Stichwort denn, wenn eine Zahl durch 2 geteilt wird, kann der Rest nur 0 oder 1 sein und genau das entspricht auch der binären Ziffer.

Lass uns gemeinsam das vorangegangene Beispiel durchführen:

  • 200 / 2 = 100 Rest 0
  • 100 / 2 = 050 Rest 0
  • 050 / 2 = 025 Rest 0
  • 025 / 2 = 012 Rest 1
  • 012 / 2 = 006 Rest 0
  • 006 / 2 = 003 Rest 0
  • 003 / 2 = 001 Rest 1
  • 001 / 2 = 000 Rest 1


Vergleiche bitte nun das Ergebnis der Reste mit den vorhin in der Tabelle eingetragenen Werten.

Fällt dir etwas auf?
Binärsystem umrechnen alternative
 
Konnte ich mein Versprechen halten und dir alles erklären oder sind noch weitere Fragen offen?

Wenn ja kannst du sehr gerne die Kommentarfunktion nutzen oder mir eine E-Mail schreiben. Wenn nicht dann empfehle ich dir die nächste Lektion oder einen meiner ausführlichen Kurse.
 

2 Comments

  1. Victoria sagt:

    Hallo René,

    Danke für die Veranschaulichung über Binäre-/ Dualezahlen und die netten Worte bezüglich „Jeder kann alles schaffen“.

    Bis auf den nächsten Kurs. 🙂

    • Rene sagt:

      Hallo Victoria,

      bitte sehr gerne 🙂 .
      Ich bin felsenfest überzeugt das jeder alles schaffen kann, wenn der nötige Wille da ist.
      Solltest du noch Fragen haben kannst du mir sehr gerne schreiben.

      LG René

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